Grundlagenfrage „elektromotorische“ Konstante

Letzte Änderung 15. Okt. 2013 | Thema Grundlagen
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In den Anfängen meiner Koaxzeit hatte ich mich mal intensiver mit den verschiedenen Elektromotoren und Rotorblättern beschäftigt. Dazu hatte ich einen Messstand, der IMHO eigentlich gar nicht so ungeschickt war, aufgebaut, und die Motoren und Rotoren vermessen. Aber irgendwie habe ich das nie wirklich zu Ende gebracht. Im Zuge der Auswertung der Daten hatte ich allerdings das Problem, dass die elektromotorische Konstante für die Spannung (k_U) und das Drehmoment (k_M) in den Motorgleichungen,

  M = k_M I - M_V,   (Gl. 1)
  U = k_U \omega + R I,   (Gl. 2)

leicht aber signifikant unterschiedlich waren (manche nennen k_U und k_M auch „Generatorkonstante“ und „Drehmomentkonstante“). In der (zumindest auf dem Web verfügbaren) Literatur findet man eigentlich immer k = k_U = k_M angegeben, und so fragte ich mich natürlich, bzw in diesem Thread bei RCLine, was der Grund des Unterschieds wohl sein könne. Die einfachste Antwort wäre natürlich Messfehler, klar. Aber diese Antwort wäre nur dann so klar, wenn k_U = k_M immer gelten würde, und das wiederrum fände ich schon eine verblüffende Tatsache.

Im genannten Thread selber kam bis auf die Aussage, dass man im Allgemeinen davon ausgehen dürfe/solle das k_U = k_M sei, nicht viel mehr, also machte ich mich auf die Suche nach einen Beweis, mit der Hoffnung dass sich wie üblich bei solchen Unterfangen auch aufklärt unter welchen Bedingugen k_U = k_M eigentlich tatsächlich gilt. Ich habe einen recht allgemeinen Beweis gefunden, aber leider sagt der natürlich nichts darüber aus ob es nicht noch einen viel allgemeineren Beweis gibt, k_U = k_M also noch viel allgemeiner gilt. Tja, also, wer einen allgemeineren Beweis kennt, bitte posten :-).

Mein Beweis war etwas unständlich, deswegen hatte ich ihn nicht gepostet (und wen ausser mir interessiert das auch schon noch :-)), aber das Ergebnis habe ich in diesem Post zusammengefasst (leider mit einem kleinen Fehler in der dortigen Gl. (1)), will das aber hier auch nochmal machen:

Das Drehmoment ist eigentlich ein Vektor und hängt vom momentanen Winkel \varphi des Rotors ab, \vec{M}(\varphi). Genauso hängt der magnetische Fluss \Phi vom Winkel \varphi des Stators/Rotors ab, \Phi(\varphi) . Was ich nun zeigen konnte ist dass die Komponente des Drehmoments entlang der Drehachse des Stators/Rotors gleich dem Strom mal der Ableitung des Flusses nach dem Winkel \varphi ist. Also, bezeichnet man die Drehachse als \vec{e} und die Komponente des Drehoments entlang der Drehachse als M, dann ist

  M(\varphi) = \vec{e} \cdot \vec{M}(\varphi),   (Gl. 3)

und mein Ergebnis schreibt sich dann als

  M(\varphi) = I \frac{d}{d\varphi} \Phi(\varphi).   (Gl. 4)

Die einzigen Annahmen die ich dabei machen musste sind:
1) das Magnetfeld (des Stators) hängt nicht von der Zeit ab
2) die Geometrie (des Rotors) verändert sich nicht.

Effekte wie z.B. Ummagnetisierungsverluste oder wenn Wicklungen wackeln, etc., sind also nicht berücksichtig, bzw. würden zu Abweichungen von k_U = k_M führen (wenn mein Beweis der Allgemeinste wäre).

Von diesem Ergebnis kommt man dann zu den obigen Motorgleichungen, indem man bedenkt dass eine Drehung des Motors bedeutet dass sich der Winkel \varphi mit der Zeit t ändert, \varphi(t), und für die induzierte Spannung gilt

  U_{ind}(t) = \frac{d}{dt} \Phi(t) = \frac{d}{d \varphi} \Phi(\varphi) \omega(t).   (Gl. 5)

(ein „-“ Zeichen kommt hier nicht vor da diese Spannung als „Verbraucher“ betrachtet wird, Stichwort „Verbraucherzählpfeile“). Für eine periodische Drehung lassen sich dann die Differentialgleichungen für den Motor (siehe z.B. hier),

  U(t) = k_U \omega(t) + R I(t) + L \frac{d}{dt} I(t),   (Gl. 6)
  M(t) = k_M I(t) - M_V(t) - J \frac{d}{dt} \omega(t),   (Gl. 7)

über eine Periode integrieren, und mittels dem Induktionssatz erhält man dann die obigen Motorgleichungen, wenn die Grössen M, I, U, und \omega als die Zeitmittelwerte über eine Periode verstanden werden (dieser Beweisweg gilt ganz allgemein, und ist damit allgemeiner als der in diesem Post vorgeschlagene). Im einfachsten Fall könnte man sich z.B. eine konstante gleichförmige Drehbewegung vorstellen, also \varphi(t) = \omega t, aber dies ist nicht nötig, d.h., die kleinen Schwankungen in der Drehbewegung sind explizit mit berücksichtigt und verfälschen das Ergebnis, die Motorgleichungen (1) und (2) nicht.

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